LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

npernyataan

ningkaran pernyataan

npernyataan majemuk

nekivalensi peryataan-pernyataan majemuk

nkonvers, invers dan kontraposisi

npernyataan berkuantor dan ingkarannya

npenarikan kesimpulan

Pernyataan

nKalimat pernyataan adalah kaliamt yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

nMaka ada 2 jenis kalimat matematika yaitu :

nkalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti

ncontoh :

2 x 4 = 8 (pernyataan tertutup yang benar)

2 + 4 = 8 (perntataan tertutup yang salah)

nkalimat terbuka, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti.

nContoh :

p = gula putih rasanya manis

q = ada daun yang berwarna coklat

Ingkaran pernyataan

nIngkaran atau negasi adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa …” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan p dinotasikan dengan ~ p

nContoh :

Missal pernyataan p : tembakau mengandung nikotin. Ingkaran pernyataan p adalah…

Jawab : ~p : tidak benar bahwa rokok mengandung nikotin

Tabel kebenaran dari ngkaran :

Pernyataan majemuk

nPernyataan-pernyataan tunggal dapat digabung menjadi sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kat penghubung logika. Pernyataan baru ini merupakan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya bergantung pada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang membentuknya

1. Konjungsi

nPernyataan dengan p dan q dapat digabung dengan kata “dan” sehinggga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi dilambangkan “p Ù q”

nTable kebenarrannnya adalah

nPerhatikan bahwa p Ù q bernilai benar jika p dan q sama-sama benar

2. disjungsi

nPernyataan dengan p dan q dapat digabung dengan kata “atau” sehinggga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. disjungsi dilambangkan “p Ú q”

nTable kebenarrannnya adalah

nPerhatikan bahwa p Ù q bernilai benar jika p dan q sama-sama salah

3. Implikasi

nPernyataan dengan p dan q dapat digabung dengan kata “jika p maka q” sehinggga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut implikasi. implikasi dilambangkan “p Þ q”

nTable kebenarrannnya adalah

nPerhatikan bahwa p Þ q bernilai salah apabila p benar dan q salah

4. Biimplikasi

nPernyataan dengan p dan q dapat digabung dengan kata “… jika dan hanya jika…” sehinggga membentuk pernyataan majemuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut implikasi. implikasi dilambangkan “p Û q”

nTable kebenarrannnya adalah

nPerhatikan bahwa p Û q bernilai benar jika p dan q sama-sama bernilai benar atau salah

Ekivalensi pernyataan-pernyataan majemuk

nDua pernyataan majemuk dikatakan ekivalen atau bernilai sama jika kedua pernyataan

Tersebut mempunyai tabel kebenaran yang sama. Ekivalen dinotasikan dengan“ ≡ ”

ncontoh: buktikan bahwa ~(p Ùq) ≡ ~p Ú~q

jawab

Beberapa pernyataan majemuk yang saling ekivalen

1. ~(p Ù q) ≡ ~p Ú~q

2. ~(p Ú q) ≡ ~p Ù~q

3. p Ù (q Ú r) ≡ (p Ù q) Ú (p Ù r)

4. p Ú (q Ù r) ≡ (p Ú q) Ù (p Ú r)

5. p Þ q ≡ ~p Ú q

6. ~(p Þ q) ≡ p Ú ~q

7. p Û q ≡ (p Þ q) Ù (q Þ p)

(~p Ú q) Ù (~q Ú p)

8. ~(p Û q) ≡ (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)

Konvers, invers dan kontraposisi

nDari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut Konvers, Invers dan

kontraposisi dari implikasi tersebut.

jika diketahui implikasi p Þ q maka :

konversnya adalah q Þ p

inversnya adalah ~p Þ ~q

kotraposisinya adalah ~q Þ ~p

Contoh

nMisal diketahui suatu implikasi “jika ada gula maka ada semut”, tentukan konvers

invers dan kontraposisinya

nJawab

Konversnya adalah : jika ada semut maka ada gula

Inversnya adalah : jika tidak ada gula maka tidak ada semut

Kontraposisinya adalah : jika tidak ada semut maka tidak ada gula

Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

nPernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan beberapa atau semua anggota semesta pembicaraan mewakil suatu sistem atau keadaan . Pernyataan berkuantor ditandai dengan kata “ada” yang dilambangkan dengan “ ≡ ” dan kata “semua” atau “untuk setiap” yang dilambangkan dengan “"”

Misalnya

nAda siswa SMA yang berambut gondrong

nSemua siswi SMA berambut panjang

pernyataan yang berkuantor dapat diingkar dengan menggunakan kata “tidak”, yaitu :

n“Tidak ada…” ( ~≡ ) sama artinya dengan “semua…tidak…”

n“Tidak semua…” (~") sama artinya “ada…yang tidak…”

Misalnya

nIngkaran dari pernyataan “ada bilangan yang kuadratnya negatif” adalah :

“Tidak ada bilangan yang kuadratnya negatif” atau

“Semua bilangan kuadratnya tidak negatif”

nIngkaran dari pernyataan “semua bus kota bersih” adalah :

“tidak semua bus kota bersih” atau

“ada bus kota yang tidak bersih”.

Penarikan kesimpulan

nDalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, diantaranya adalah :

nPenarikan kesimpulan modus ponen, yaitu :

pernyataan 1 : p Þ q : benar

pernyataan 2 : p : benar

kesimpulan : q : benar

nPenarikan kesimpulan modus tollens, yaitu :

pernyataan 1 : p Þ q : benar

pernyataan 2 : ~q : benar

kesimpulan : ~p : benar

nPenarikan kesimpulan modus silogisme, yaitu :

pernyataan 1 : p Þ q : benar

pernyataan 2 : q Þ r : benar

kesimpulan : p Þ r : benar